Simplifier une fraction

Simplifier une fraction signifie trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petit.
Pour cela il faut connaitre ses tables de multiplication afin de passer en revue mentalement les différentes possibilités.

Exemple :

$$\frac{35}{56}=\frac{\cancel{7}\times5}{8\times\cancel{7}}=\frac{5}{8} \begin{array} \text{\leftarrow} \text{numérateur}\\ \leftarrow \text{dénominateur} \end{array}$$

 

Définition :

• Une fraction est dite irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n'ont pas de diviseur commun (autre que 1).
• Une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur ont 1 pour seul diviseur commun.
• Dans le cas où deux nombres n'ont qu'un seul diviseur commun,on dit qu'ils sont premiers entr'eux.

Remarques :

$$\frac{a}{1}=a$$ $$\frac{a}{a}=1$$

• 0 ne divise aucun nombre
• tout nombre est un multiple de 1
• tout nombre entier est divisible par 1 et par lui-même

Rappel :

• un nombre est divisible par 2 si il se termine par un chiffre pair (0, 2, 4, 6, 8)
• un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou est un multiple de 3)
• un nombre est divisible par 5 si il se termine par 0 ou 5
• un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 (ou est un multiple de 9)
• un nombre est divisible par 10 si il se termine par 0

Utilisation des nombres premiers :

On peut utiliser les nombres premiers pour simplifier une fraction.

En effet, tout nombre premier entier peut s'écrire sous la forme d'un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique.

Un nombre premier est un nombre entier naturel (non nul) divisible par 1 ou lui-même.

Les 8 premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

 

Par exemple, 21 peut se décomposer en 3x7. 20 en 2x2x5. 19 est un nombre premier. 18=3x3x2 etc ...

Si en veut simplifier 84/60 :

$$\frac{84}{60}=\frac{2\times42}{6\times10}=\frac{2\times2\times21}{6\times5\times2}$$

$$=\frac{2\times2\times3\times7}{3\times2\times5\times2} $$

On peut maintenant simplifier :

$$=\frac{\cancel{2}\times\cancel{2}\times\cancel{3}\times7}{\cancel{3}\times\cancel{2}\times5\times\cancel{2}} =\frac{7}{5} $$