Carré d'un nombre et racine carrée

Définition du carré d'un nombre

Le carré d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même.

\(a\) désigne ici un nombre relatif.

Ainsi le carré de \(a\), \(a^2\), c'est

\(a^2 = a \times a\)

 

Si on remplace a par 7, alors le carré de a est

\(7^2 = 7 \times 7 = 49\)

 

Définition de la racine carrée d'un nombre

\(a\) désigne ici un nombre relatif.

La racine carrée de \(a\) est le nombre positif dont le carré est égale à \(a\).

Soit \(a\) un nombre positif. L'unique nombre positif dont le carré est \(a\) s'appelle la racine carrée de \(a\) et se note \(\sqrt{a}\).

 

Propriétés et remarques

Le carré d'un nombre pair est pair, autrement dit si \(a\) est un entier pair alors \(a^2\) est pair. Exemple : \(4^2 = 16\).
Le carré d'un nombre impair est impair autrement dit si \(a\) est un entier impair alors \(a^2\) est impair. Exemple : \(3^2 = 9\)

 

Le nombre sous la racine carré est toujours positif, c'est-à-dire qu'on ne peut pas faire la racine carrée d'un nombre négatif.
Le résultat d'une racine carré est toujours un nombre positif.

Le nombre sous la racine carrée est toujours positif.
Le résultat \(\sqrt{a}\) est aussi toujours positif.

Pour tout nombre a positif, \((\sqrt{a})^2 = a\)
Pour tout nombre a positif, \(\sqrt{a^2} = a\)

Ne pas confondre \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{(-5) \times (-5)} = \sqrt{25} = \sqrt{5^2} = 5\) avec \(\sqrt{-5^2} = \sqrt{-5 \times 5} = \sqrt{-25}\) qui est négatif et qui n'est pas possible.

Soient a et b deux réels positifs

 

• \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)
• si \(b \neq 0\), \(\sqrt{{a \over b}} = {\sqrt{a} \over \sqrt{b}}\)
• \(\sqrt{a+b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b}\)

 

Exemples

\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{20} = \sqrt{5 \times 4} = \sqrt{5} \times \sqrt{4} = \sqrt{5} \times \sqrt{2^2} = \sqrt{5} \times 2 = 2\sqrt{5}\)
\(\sqrt{4 \over 9} = {\sqrt{4} \over \sqrt{9}} = {2 \over 3}\)

 

\(\sqrt{20} + 4\sqrt{5} = \sqrt{5 \times 4} + 4\sqrt{5} = \sqrt{5 \times {2^2}} + 4\sqrt{5} = 2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)

\(\sqrt{5}(1 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 = \sqrt{5} - 5\)

\(\sqrt{16 \times 9} = \sqrt{16} \times \sqrt{9} = 4 \times 3 = 12\)

\(\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}\)