Multiples et diviseurs

Définition 1

Soient $a$ et $b$ deux entiers.

$b$ est un diviseur de $a$ si l'on peut trouver  un entier $q$ tel que $a=b\times q$

 

Exemple :

6 est un diviseur de 36 car 36 = 6 x 6, 36 est divisible par 6, 36 est un multiple de 6, 6 divise 36.

 

Définition 2

Soit $a$ un entier, $a$ est un nombre :

• Pair lorsqu'il existe un entier $k$ tel que $a=2\times k$ ; autrement dit $a$ est un multiple de 2, ou encore $a$ est divisible par 2
• Impair lorsqu'il existe un entier $k$ tel que $a=2\times k+1$ ; dans ce cas $a$ n'est pas divisible par 2.

 

Exemple :

• $17=2\times 8+1$ est un nombre impair
• $38=2\times 19$ est un nombre pair

 

Théorème

Soit $a$ un entier. Si $b$ et $b^{\prime }$ sont deux multiples de $a$, alors $b+b^{\prime }$ est un multiple de $a$.

 

Démonstration :

Si $b$ et $b^{\prime }$ sont deux multiples de $a$, alors il existe $q$ et $q^{\prime }$ tel que

$b=a\times q$

$b^{\prime }=a\times q^{\prime }$

 $b+b^{\prime }=a\times q+a\times q^{\prime }=a\times (q+q^{\prime })$

Donc $b+b^{\prime }$ est un multiple de $a$.

Exemple :

9 est un multiple de 3 et 27 est un multiple de 3, donc 9 + 27 = 36 est aussi un multiple de 3.