Opérations sur les nombres relatifs

L'objectif est :

• de savoir additionner des nombres relatifs
• de savoir soustraire des nombres relatifs
• de connaître la règle des signes pour la multiplication de deux nombres relatifs
• de savoir effectuer une division de deux nombres relatifs
• de connaître l'ordre de priorité des quatre opérations et des parenthèses

Pour additionner deux nombres de même signe, il faut additionner les deux nombres et mettre au résultat le signe commun.

Exemples :

(-8,2) + (-2,5) = -10,7

(+3,6) + (+4,3)=3,6 + 4,3 = 7,9

(+2) + (+8) = +10

 

Pour additionner deux nombres de signe contraire, il faut soustraire la plus petite valeur de la plus grande et garder le signe de la plus grande valeur.

Exemples :

(+2) + (-8) = -6  (8 était la plus grande valeur. On a conservé son signe, cad -. On a soustrait 2 de 8 car 2 était la plus petite valeur.

(+16) + (-5) = +11

7,7 + (-9,7) = -2

-18 + 15 = -3

 

Remarque : La somme de deux nombres relatifs opposés est égale à 0. Par exemple -2 + 2 = 0

 

Calcul d'une somme de nombres relatifs :

$$A=16+(-2,8)+(-3,5)+2,8+20+(-7,5)$$

 

Comme on sait que la somme de deux nombres relatifs opposés est égale à 0, donc on les barre.

$$A=16+(\cancel{-2,8})+(-3,5)+\cancel{2,8}+20+(-7,5)$$

$$A=16+(-3,5)+20+(-7,5)$$

 

On regroupe les nombres de même signe entr'eux et on effectue les calculs.

$$A=16+(-3,5)+20+(-7,5)$$

$$A=16+20+(-3,5)+(-7,5)$$

$$A=36+(-11)$$

$$A=25$$

 

Autre exemple.

$$B=(-9)+2,5+(-12)+4,8+6,5+(-3)$$

$$B=(-9)+2,5+6,5+(-12)+4,8+(-3)$$

$$B=(\cancel{-9})+\cancel{2,5}+\cancel{6,5}+(-12)+4,8+(-3)$$

$$B=+(-12)+4,8+(-3)$$

$$B=(-12)+(-3)+4,8$$

$$B=(-15)+4,8$$

$$B=-10,2$$

Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé.

Exemples :

$$(-12)-(-4)=(-12)+(+4)=-8$$

$$(+2,5)-(-7)=(+2,5)+(+7)=9,5$$

$$16-20=16+(-20)=-4$$

$$-2,5-3=(-2,5)+(-3)=-5,5$$

Une somme algébrique est une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs.

 

Exemple de calcul :

$$C=7-10+(-12)-(-7)+(-8,5)-(-12)$$

$$C=7+(-10)+(-12)+7+(-8,5)+12$$

On barre les opposés si il y en a

$$C=7+(-10)+(\cancel{-12})+7+(-8,5)+\cancel{12}$$

On regroupe les nombres de même signe entre eux

$$C=7+7+(-10)+(-8,5)$$

On effectue les calculs

$$C=14+(-18,5)$$

$$C=-4,5$$

 

Autre exemple. Il faudra ici donné la priorité aux calculs entre les parenthèses

$$D=(-3)+(-8+10)-(-12-(-5))$$

$$D=(-3)+2-(-12+5)$$

$$D=(-3)+2-(-7)$$

$$D=(-3)+2+7$$

$$D=(-3)+9$$

$$D=6$$

Dernier exemple.

$$E=15-20-(-8-10+3)+(-10+6)$$

$$E=15-20-(-8+(-10)+3)+(-4)$$

$$E=15-20-(-18+3)+(+4)$$

$$E=15-20-(-15)+(-4)$$

$$E=30+(-24)$$

$$E=6$$

Pour multiplier deux nombres relatifs, il faut multiplier les nombres entr'eux et appliquer la règle des signes qui est :

• le produit de deux nombres de même signe est un positif.
• le produit de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.

Ce qui donne :

$$+1\times +1=+1$$

$$+1\times -1=-1$$

$$-1\times -1=+1$$

Justification pour le produit de signes contraires :

$$3\times (-4)=(-4)+(-4)+(-4)=-12$$

Justification pour le produit de signes identiques :

$$3\times (4)=12$$

On peut déplacer les facteurs :

$$3\times (-4)=(-4)\times 3=-12$$

 

La multiplication est distributive par rapport à l'addition :

$$h\times (a+b)=h\times a+h\times b$$

$$(-3)\times (4+(-4))=-3\times 0=0$$

$$(-3)\times (4+(-4))=(-3)\times 4+(-3)\times (-4)=-12+12=0$$

 

Exemples :

$$3\times -7=-21$$

$$-1,75\times 10=-17,5$$

$$-12\times -5=60$$

 

Signe d'un produit de plusieurs nombre relatifs

Dans un produit de plusieurs facteurs

• si le nombre de facteurs négatifs et paire, alors le produit est positif.
• si le nombre de facteurs négatifs et impair, alors le produit est négatif.

Exemples :

$$F=(-2)\times 5\times (-10)\times (-8)$$

$$F=(-10)\times 80$$

$$F=-800$$

Le signe de l'opération suivante est positif car il y a 4 facteurs négatifs. 4 étant un nombre pair ... :

$$G=3\times (-1)\times (-3)\times (-4)\times (-2)$$

• Le résultat d'une addition s'appelle une somme et les nombres utilisés s'appellent des termes.
• Le résultat d'une soustraction s'appelle une différence et les nombres utilisés s'appellent des termes.
• Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit et les nombres utilisés s'appellent des facteurs.
• Le résultat d'une division s'appelle un quotient.

Selon la dernière opération effectuée dans une expression numérique, on dira que le calcul est somme, une différence, un produit ou un quotient.

Exemple :

$$A=6+4\times (27-7)$$

$$A=6+4\times (20)$$

$$A=6+80$$

$$A=86$$

 

Comme la dernière opération est une addition, l'expression est une somme.

On peut ne pas écrire le signe "x" d'une multiplication lorsqu'il est suivit d'une parenthèse.

 

Exemple :

$$A=6+4\times (27-7)$$

$$A=6+4(27-7)$$

 

$$B=2\times (3+4)$$

$$B=2(3+4)$$