Les puissances

Soit a un nombre relatif et n un nombre entier positif.

aⁿ désigne le produit de n facteurs égaux à a.

Ainsi aⁿ = a x a x a x .... x a, et cela n fois

 

aⁿ se lit "a puissance n" ou encore "a exposant n"

 

Exemples :

$$2^5=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$$

$$(-5{)}^3=(-5)\times (-5)\times (-5)=-125$$

$${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{3}{2}\times \frac{3}{2}=\frac{9}{4}$$

 

Attention au rôle des parenthèses !

$${(-5)}^2=(-5)\times (-5)=25$$

L'exposant 2 s'applique au contenu de la parenthèse.

$$-5^2=-5\times 5=-25$$

L'exposant 2 ne s'applique qu'au nombre 5.

Un exposant s'applique uniquement à ce qui le précède immédiatement. ${(-5)}^2\ne -5^2$

 

Convention :

• $a^1=a$
• $a^0=1$ (avec $a\ne 0$)
• $0^n=0$ (avec $n\ne 0$)

On désigne a un nombre relatif non nul et n un nombre entier positif non nul.

a^-n désigne l'inverse de aⁿ.

$$\frac{1}{a^n}=a^{-n}$$

 

Exemples :

$$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2\times 2\times 2}=\frac{1}{8}$$

$${(-5)}^{-2}=\frac{1}{{(-5)}^2}=\frac{1}{(-5)\times (-5)}=\frac{1}{25}$$

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^3}=\frac{1}{(\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}\times \frac{2}{3})}=\frac{1}{\frac{8}{27}}=1\times \frac{27}{8}=\frac{27}{8}$$

a désigne un nombre relatif non nul et n un nombre entier positif non nul.

• si a est positif, alors aⁿ et a^-n sont positifs
• si a est négatif, il y a 2 cas :
  • si n est pair, alors aⁿ et a^-n sont positifs
  • si n est impair, alors aⁿ et a^-n sont négatifs

Exemples :

• $(-3{)}^8$ est positif car $(-3)$ est négatif et $8$ est pair.
• $7^{-5}$ est positif car $7$ est positif.
• $(-4{)}^{11}$ est négatif car $(-4)$ est négatif et $11$ est impair.
• $(\frac{-1}{2}{)}^{-3}$ est négatif car $(\frac{-1}{2})$ est négatif et $3$ est impair.

Produit de deux puissances d'un même nombre

3² x 3⁴ = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3⁶

 

aⁿ x a^p = a^n+p

avec  ou n et p sont deux nombres entiers relatifs non nuls.

 

Exemples :

9⁵ x 9^-3 = 9^{5 + (-3)} = 9²

 

(-5)⁴ x (-5)^-7 x (-5) = (-5)⁴ x (-5)^-7 x (-5)¹ = (-5)^4+(-7)+1 = (-5)

 

Quotient de deux puissances d'un même nombre

$\frac{7^5}{7^3}=\frac{7\times 7\times \cancel{7}\times \cancel{7}\times \cancel{7}}{\cancel{7}\times \cancel{7}\times \cancel{7}}=7^2$

 

$\frac{2^3}{2^5}=\frac{2\times \cancel{2}\times \cancel{2}\times 1}{\cancel{2}\times \cancel{2}\times \cancel{2}\times 2\times 2}=\frac{1}{2^2}=2^{-2}$

 

$\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$

 

Exemples :

$\frac{5^{-8}}{5^6}=5^{-8-6}=5^{-8+(-6)=5^{-14}}$

 

$\frac{(-3{)}^{11}}{(-3{)}^{-5}}=(-3{)}^{11-(-5)}=(-3{)}^{11+5}=(-3{)}^{16}$

 

Puissance d'un produit

$(3\times 5{)}^2=3\times 5\times 3\times 5=3^2\times 5^2$

 

$(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$

 

Exemples

$0,7^9\times {10}^9=(0,7\times 10{)}^9=7^9$

$(3x{)}^2=3^2\times x^2=9x^2$

 

Puissance d'une puissance

$(2^{-3}{)}^4=2^{-3}\times 2^{-3}\times 2^{-3}\times 2^{-3}=2^{-12}$

 

$(a^n{)}^p=a^{n\times p}$

 

Exemples :

$(5^{-9}{)}^{-2}=5^{-9\times (-2)}=5^{18}$

 

$[(-3{)}^6{]}^{-5}=(-3{)}^{6\times (-5)}=(-3{)}^{-30}$

• En l'abscene de parenthèses, on cacule les puissances avant d'effectuer les autre opérations.
• En présence de parenthèses, les calculs entre parenthèses sont prioritaires.

 

Exemples

$A=(-5{)}^2+2\times 3^3-24÷2^2$

$A=25+2\times 27-24÷4$

$A=25\times 54-6$

$A=79-6$

$A=73$

 

$B=(14+4\times 3^2)+(7^2-2\times 8-3)$

$B=(14+4\times 9)+(49-16-3)$

$B=(14+36)+(49-16-3)$

$B=50\times (33-3)$

$B=50\times 30$

$B=1500$

 

$C=5\times 4^{-2}-{32}^{-1}$

$C=5\times \frac{1}{4^2}-\frac{1}{{32}^1}$

$C=\frac{5}{1}\times \frac{1}{16}-\frac{1}{32}$

$C=\frac{5}{16}-\frac{1}{32}$

$C=\frac{10}{32}-\frac{1}{32}$

$C=\frac{9}{32}$