Les fonctions

Ces notes se basent sur cette vidéo d'Yvan Monka.

 

Soit une fonction \(f(x)=x^2+3\).

 

\(x\) est une variable. En donnant une valeur au \(x\) de la fonction, la fonction va calculer \(x^2+3\).

 

On obtiendra l'image de 5 par la fonction \(f\).

 

Si nous donnons 5 comme valeur à \(x\), l'image de 5 par la fonction \(f\) sera \(5^2+3 = 28\). 

 

L'image de 5 qui renvoie 28 se note \(f:5\mapsto28\)

On peut aussi écrire \(f(5) = 28\)

 

28 est l'image de 5, et 5 est l'antécédent de 28.

 

Sur cette autre vidéo il aurait dit qu'à 5 on associe 28.

Représenté graphiquement, 5 se place sur l'axe des abscisses et 28 se place sur l'axe des ordonnées.

L'axe des ordonnées correspond à l'image, l'image de x, et l'axe des abscisses indique les antécédents.

 

Un nombre ne peut avoir qu'une seule image mais il peut avoir plusieurs antécédents.

Par exemple avec \(f(x) = x^2\), \(f(2) = 4\) et \(f(-2) = 4\) également.

2 a pour image 4 mais 4 a pour antécédents -2 et 2.

 

On trouve des exercices sur https://chingatome.fr/chapitre/2nd/generalite-sur-les-fonctions avec l'exercice 4375 par exemple.

 

Voici un exemple d'exercice :

La fonction f est définie sur \(\mathbb{R}\) \(f(x) = x^2 -5x -8\)

On demande de résoudre algébriquement l'équation \(f(x) = -8\) dans \(\mathbb{R}\)

 

La question revient à trouver un \(x\) en entrée qui donnera \(-8\) en sortie, cad \(y\).

On demande de trouver un point \((x;-8)\) où \(x\) appartient à la courbe de \(f(x) = x^2 -5x -8\)

 

Donc on se retrouve à résoudre \(x^2 -5x -8 = -8\)

Ainsi \(x^2 -5x -8 = -8\)

\(\Rightarrow x^2 -5x = -8 + 8\)

\(\Rightarrow x^2 -5x = 0\)

 

C'est une équation du second degré dont la résolution est expliquée sur https://www.tutos.eu/1929

On a donc \(x^2 -5x = 0\)

\(\Rightarrow x \times x -5x = 0\)

\(\Rightarrow x(x -5) = 0 \)

 

Les 2 solutions sont donc 0 et 5, cad que pour \(x=0\) ou \(x = 5\), \(y=-8\)

On peut aussi dire que les points \((0 ; -8)\) et \((5 ; -8)\) appartiennent à la courbe.

0 et 5 ont pour image \(-8\)

\(-8\) a pour antécédents 0 et 5