Les fonctions

Ces notes se basent sur cette vidéo d'Yvan Monka.

 

Soit une fonction $f(x)=x^2+3$.

 

$x$ est une variable. En donnant une valeur au $x$ de la fonction, la fonction va calculer $x^2+3$.

 

On obtiendra l'image de 5 par la fonction $f$.

 

Si nous donnons 5 comme valeur à $x$, l'image de 5 par la fonction $f$ sera $5^2+3=28$. 

 

L'image de 5 qui renvoie 28 se note $f:5\mapsto 28$

On peut aussi écrire $f(5)=28$

 

28 est l'image de 5, et 5 est l'antécédent de 28.

 

Sur cette autre vidéo il aurait dit qu'à 5 on associe 28.

Représenté graphiquement, 5 se place sur l'axe des abscisses et 28 se place sur l'axe des ordonnées.

L'axe des ordonnées correspond à l'image, l'image de x, et l'axe des abscisses indique les antécédents.

 

Un nombre ne peut avoir qu'une seule image mais il peut avoir plusieurs antécédents.

Par exemple avec $f(x)=x^2$, $f(2)=4$ et $f(-2)=4$ également.

2 a pour image 4 mais 4 a pour antécédents -2 et 2.

 

On trouve des exercices sur https://chingatome.fr/chapitre/2nd/generalite-sur-les-fonctions avec l'exercice 4375 par exemple.

 

Voici un exemple d'exercice :

La fonction f est définie sur $\mathbb{R}$ $f(x)=x^2-5x-8$

On demande de résoudre algébriquement l'équation $f(x)=-8$ dans $\mathbb{R}$

 

La question revient à trouver un $x$ en entrée qui donnera $-8$ en sortie, cad $y$.

On demande de trouver un point $(x;-8)$ où $x$ appartient à la courbe de $f(x)=x^2-5x-8$

 

Donc on se retrouve à résoudre $x^2-5x-8=-8$

Ainsi $x^2-5x-8=-8$

$\Rightarrow x^2-5x=-8+8$

$\Rightarrow x^2-5x=0$

 

C'est une équation du second degré dont la résolution est expliquée sur https://www.tutos.eu/1929

On a donc $x^2-5x=0$

$\Rightarrow x\times x-5x=0$

$\Rightarrow x(x-5)=0$

 

Les 2 solutions sont donc 0 et 5, cad que pour $x=0$ ou $x=5$, $y=-8$

On peut aussi dire que les points $(0;-8)$ et $(5;-8)$ appartiennent à la courbe.

0 et 5 ont pour image $-8$

$-8$ a pour antécédents 0 et 5